Арифметическая прогрессия

Определение

Арифметическая прогрессия (АП) — это последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа d. Число d называется разностью: d = aₙ₊₁ − aₙ.

• Если d > 0, прогрессия возрастает, если d < 0 — убывает, если d = 0 — все члены равны.
• Пример: 3, 7, 11, 15, ... здесь a₁ = 3, d = 4.

Основные формулы

Что находим	Формула
n-й член	aₙ = a₁ + (n − 1) · d
Сумма первых n членов	Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2
Сумма (вторая форма)	Sₙ = (2a₁ + (n − 1) · d) · n / 2
Средний член	aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2

• Если суммы индексов членов равны, то равны и суммы самих членов: если k + m = p + s, то aₖ + aₘ = aₚ + aₛ.
• Если три последовательных числа a, b, c образуют АП, то 2b = a + c.
• aₙ = aₘ + (n − m) · d. Если известны два члена, то d = (aₙ − aₘ) / (n − m).

Порядок решения

1. Найдите a₁ и d из данных
2. Запишите формулу n-го члена или суммы
3. Найдите n из уравнения (оно должно быть целым и положительным)
4. Проверьте ответ, подставив числа

Примеры

• Если a₁ = 3, d = 4, то a₁₀ = 3 + 9 · 4 = 39. S₁₀ = (3 + 39) · 10 / 2 = 210.
• Если a₃ = 7, a₇ = 19, то d = (19 − 7) / 4 = 3, a₁ = 7 − 2 · 3 = 1.
• Числа от 5 до 50, кратные 5: 5, 10, ..., 50, то есть 10 членов, сумма (5 + 50) · 10 / 2 = 275.

Дополнительно

• Сумма натуральных чисел от 1 до n равна n(n + 1)/2.
• Количество членов = (последний − первый)/d + 1
• В формуле суммы не забывайте делить на 2.