Геометрическая прогрессия

Определение

Геометрическая прогрессия (ГП) — это последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается умножением предыдущего на одно и то же число q (b₁ ≠ 0, q ≠ 0). q — знаменатель: q = bₙ₊₁ / bₙ.

• Пример: 3, 6, 12, 24, ... здесь b₁ = 3, q = 2.
• Если |q| > 1, члены по модулю растут, если |q| < 1 — убывают, если q < 0 — знаки чередуются.

Основные формулы

Что находится	Формула
n-й член	bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹
Сумма первых n членов (q ≠ 1)	Sₙ = b₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1)
Если q = 1	Sₙ = n · b₁
Характеристическое свойство	bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁
Бесконечно убывающая ГП (−1 < q < 1)	S = b₁ / (1 − q)

• Если три последовательных положительных числа a, b, c образуют ГП, то b² = ac.
• bₙ = bₘ · qⁿ⁻ᵐ. Если даны два члена, то qⁿ⁻ᵐ = bₙ / bₘ.
• Если суммы индексов равны, то равны и произведения членов: если k + m = p + r, то bₖ · bₘ = bₚ · bᵣ.

Порядок решения

1. Найдите b₁ и q (при необходимости из bₙ / bₘ)
2. Выберите нужную формулу: bₙ, Sₙ или сумма бесконечной ГП
3. Подставьте значения и вычислите
4. Проверьте результат по условию

Примеры

• Если b₁ = 2, q = 3, то b₄ = 2 · 27 = 54 и S₄ = 2 · (81 − 1) / 2 = 80.
• b₂ = 6, b₅ = 162: q³ = 162 / 6 = 27, значит, q = 3 и b₁ = 2.
• В ГП 6, 2, 2/3, ... q = 1/3, S = 6 / (1 − 1/3) = 9.

Ошибки

• Сумма бесконечной ГП существует только при −1 < q < 1.
• Показатель степени равен n − 1, а не n: b₅ = b₁ · q⁴.
• При нахождении знаменателя q = следующий член / предыдущий член.