Производная и её применение

Таблица производных и правила

Производная показывает скорость изменения функции.

• (c)′ = 0, (x)′ = 1, (xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹
• (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
• (tg x)′ = 1 / cos²x, (√x)′ = 1 / (2√x)
• (eˣ)′ = eˣ, (aˣ)′ = aˣ · ln a, (ln x)′ = 1 / x

Правило	Формула
Сумма	(u + v)′ = u′ + v′
Произведение	(u · v)′ = u′ · v + u · v′
Частное	(u / v)′ = (u′ · v − u · v′) / v²
Сложная функция	(f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x)

Применение

• Если на некотором промежутке f′(x) > 0, функция возрастает, если f′(x) < 0, убывает.
• Точка, в которой f′ меняет знак с плюса на минус, является точкой локального максимума, если f′ меняет знак с − на +, это минимум.
• Касательная: y = f(x₀) + f′(x₀) · (x − x₀). Угловой коэффициент равен f′(x₀).
• При движении v(t) = s′(t), a(t) = v′(t).

1. Найди f′(x)
2. Из уравнения f′(x) = 0 найди критические точки
3. Проверь знак f′ вокруг каждой точки
4. Если задан отрезок, вычисли также значения на концах

Пример графика: парабола y = x² − 4x + 5 и касательная в точке x = 3: y = 2x − 4.

x	1	2	3	4	5
y = x² − 4x + 5	2	1	2	5	10
касательная 2x − 4	−2	0	2	4	6

Два графика касаются только в точке (3; 2), в остальных местах парабола расположена выше касательной.

Примеры

• f(x) = x³ − 3x² + 2: f′ = 3x(x − 2). В точке x = 0 локальный максимум f(0) = 2, в точке x = 2 локальный минимум f(2) = −2. Это не наибольшее и не наименьшее значения: при x → +∞ f(x) → +∞, при x → −∞ f(x) → −∞.
• y = x² − 4x + 5, x₀ = 3: f(3) = 2, f′(3) = 2, y = 2 + 2(x − 3) = 2x − 4.
• f(x) = x³ − 12x, отрезок [−3; 3]: из f′ = 0 получаем x = ±2. f(−3) = 9, f(−2) = 16, f(2) = −16, f(3) = −9. Наибольшее значение 16, наименьшее −16.

Будьте внимательны

• (sin 2x)′ = 2cos 2x, а не cos 2x.
• f′(x) = 0 не всегда означает экстремум: у f(x) = x³ f′(0) = 0, но экстремума нет.
• На отрезке проверяй и граничные точки.
• В касательной угловой коэффициент равен f′(x₀), а не f(x₀).