Hosila va uning tatbiqi

Hosila jadvali va qoidalar

Hosila funksiya o'zgarish tezligini ko'rsatadi.

• (c)′ = 0, (x)′ = 1, (xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹
• (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
• (tg x)′ = 1 / cos²x, (√x)′ = 1 / (2√x)
• (eˣ)′ = eˣ, (aˣ)′ = aˣ · ln a, (ln x)′ = 1 / x

Qoida	Formula
Yig'indi	(u + v)′ = u′ + v′
Ko'paytma	(u · v)′ = u′ · v + u · v′
Bo'linma	(u / v)′ = (u′ · v − u · v′) / v²
Murakkab funksiya	(f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x)

Tatbiqlari

• Biror oraliqda f′(x) > 0 bo'lsa funksiya o'sadi, f′(x) < 0 bo'lsa kamayadi.
• f′ ishorasini plyusdan minusga o'zgartirgan nuqta lokal maksimum, f′ ishorasi − dan + ga o'tsa minimum.
• Urinma: y = f(x₀) + f′(x₀) · (x − x₀). Burchak koeffitsiyenti f′(x₀) ga teng.
• Harakatda v(t) = s′(t), a(t) = v′(t).

1. f′(x) ni top
2. f′(x) = 0 tenglamadan kritik nuqtalarni top
3. Har nuqta atrofida f′ ishorasini tekshir
4. Kesma bo'lsa, chetlardagi qiymatlarni ham hisobla

Grafik namunasi: y = x² − 4x + 5 parabolasi va x = 3 nuqtadagi urinma y = 2x − 4.

x	1	2	3	4	5
y = x² − 4x + 5	2	1	2	5	10
urinma 2x − 4	−2	0	2	4	6

Ikki grafik faqat (3; 2) nuqtada tegadi, qolgan joyda parabola urinmadan yuqorida.

Misollar

• f(x) = x³ − 3x² + 2: f′ = 3x(x − 2). x = 0 da lokal maksimum f(0) = 2, x = 2 da lokal minimum f(2) = −2. Bu eng katta va eng kichik qiymat emas: x → +∞ da f(x) → +∞, x → −∞ da f(x) → −∞.
• y = x² − 4x + 5, x₀ = 3: f(3) = 2, f′(3) = 2, y = 2 + 2(x − 3) = 2x − 4.
• f(x) = x³ − 12x, kesma [−3; 3]: f′ = 0 dan x = ±2. f(−3) = 9, f(−2) = 16, f(2) = −16, f(3) = −9. Eng katta 16, eng kichik −16.

Ehtiyot bo'ling

• (sin 2x)′ = 2cos 2x, cos 2x emas.
• f′(x) = 0 har doim ekstremum emas: f(x) = x³ da f′(0) = 0, lekin ekstremum yo'q.
• Kesmada chetki nuqtalarni ham tekshir.
• Urinmada burchak koeffitsiyenti f′(x₀), f(x₀) emas.