Дроби, проценты и отношение

Обыкновенные дроби

В дроби a/b число a — числитель, b — знаменатель (b ≠ 0). Действия с дробями:

Действие	Правило	Пример
Сложение	приводятся к общему знаменателю	1/2 + 1/3 = 5/6
Умножение	числитель на числитель, знаменатель на знаменатель	2/3 · 3/4 = 1/2
Деление	вторая дробь переворачивается	2/3 : 4/9 = 3/2

• Общее правило: a/b + c/d = (ad + bc) / bd.
• При сложении знаменатели не складываются: 1/2 + 1/3 ≠ 2/5.
• Смешанное число 2 1/3 = (2·3 + 1)/3 = 7/3.

Проценты

1 процент = 0,01. Три основные задачи:

Задача	Формула
Найти p% от N	N · p / 100
Найти целое, если p% его составляют часть	N = часть · 100 / p
Сколько процентов целого составляет часть	часть / целое · 100%

• При увеличении на p% новое значение равно N · (1 + p/100), при уменьшении на p% — N · (1 − p/100).
• При последовательных изменениях коэффициенты перемножаются. Последовательные проценты не складываются: 1,2 · 0,8 = 0,96, то есть значение уменьшается на 4%.

Отношение и пропорция

Отношение a : b — это частное от деления a на b. Равные отношения образуют пропорцию: a : b = c : d.

• Пропорция: произведение средних = произведению крайних: ad = bc.
• Деление числа в отношении m : n: одна часть = число / (m + n), части берутся m и n раз.
• Объединение двух отношений: если a : b = 2 : 3 и b : c = 4 : 5, то уравниваем b: 8 : 12 и 12 : 15, значит a : b : c = 8 : 12 : 15.

1. Выдели из условия «целое» и «часть»
2. Преврати проценты в дробь, умножив на 0,01
3. Примени подходящую формулу
4. Проверь ответ по условию

Примеры

• 15% от 240: 240 · 0,15 = 36.
• Цена была 500 сумов, выросла на 20%, затем подешевела на 20%: 500 · 1,2 · 0,8 = 480.
• Деление 90 в отношении 2 : 3: 90 / 5 = 18, части равны 36 и 54.