Многочлены и формулы сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения

Квадрат суммы и квадрат разности:

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a − b)² = a² − 2ab + b². В (a − b)² последний член +b²
• a² − b² = (a − b)(a + b)
• Из двух предыдущих формул сумма квадратов: a² + b² = (a − b)² + 2ab, а также a² + b² = (a + b)² − 2ab.

Геометрический смысл квадрата: большой квадрат со стороной a + b делится на четыре части.

Часть	Площадь
квадрат со стороной a	a²
два прямоугольника со сторонами a и b	ab и ab
квадрат со стороной b	b²

Итого: (a + b)² = a² + ab + ab + b².

Работа с кубами:

Выражение	Разложение
(a + b)³	a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a − b)³	a³ − 3a²b + 3ab² − b³
a³ + b³	(a + b)(a² − ab + b²)
a³ − b³	(a − b)(a² + ab + b²)

Работа с многочленами

• Порядок разложения на множители: сначала вынесите общий множитель за скобки, затем примените формулу, при необходимости сгруппируйте слагаемые.
• Безу: остаток при делении на (x − a) равен P(a).
• Если P(a) = 0, то (x − a) является множителем многочлена, а a — его корнем.

1. Вынеси общий множитель за скобки
2. Поищи формулу сокращённого умножения
3. Если многочлен длинный, сгруппируй слагаемые по два
4. Перемножь и проверь, получается ли исходный многочлен

Примеры

• 101² − 99² = (101 − 99)(101 + 99) = 2 · 200 = 400. Также 99² = (100 − 1)² = 10000 − 200 + 1 = 9801.
• x³ − 3x² − 4x + 12 = x²(x − 3) − 4(x − 3) = (x − 3)(x² − 4) = (x − 3)(x − 2)(x + 2). Проверка: если раскрыть (x − 3)(x² − 4), получим x³ − 3x² − 4x + 12.
• При делении P(x) = x³ − 2x² + x − 5 на (x − 2) остаток равен P(2) = 8 − 8 + 2 − 5 = −3, частное x² + 1. Проверка: (x − 2)(x² + 1) − 3 = x³ − 2x² + x − 5.

Будьте внимательны

• При раскрытии скобки со знаком минус знаки всех слагаемых меняются: −(x − 3)² = −x² + 6x − 9.
• При делении на (x + 2) остаток равен P(−2), а не P(2).
• В сумме кубов средний член второй скобки отрицательный: a² − ab + b², а не a² + ab + b².