Ko'phadlar va qisqa ko'paytirish formulalari

Qisqa ko'paytirish formulalari

Yig'indi va ayirmaning kvadrati:

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a − b)² = a² − 2ab + b². (a − b)² da oxirgi had +b²
• a² − b² = (a − b)(a + b)
• Yuqoridagi ikki formuladan kvadratlar yig'indisi: a² + b² = (a − b)² + 2ab, shuningdek a² + b² = (a + b)² − 2ab.

Kvadratning geometrik ma'nosi: tomoni a + b bo'lgan katta kvadrat to'rt bo'lakka bo'linadi.

Bo'lak	Yuzi
tomoni a bo'lgan kvadrat	a²
a va b tomonli ikkita to'g'ri to'rtburchak	ab va ab
tomoni b bo'lgan kvadrat	b²

Jami: (a + b)² = a² + ab + ab + b².

Kublar bilan ishlash:

Ifoda	Yoyilmasi
(a + b)³	a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a − b)³	a³ − 3a²b + 3ab² − b³
a³ + b³	(a + b)(a² − ab + b²)
a³ − b³	(a − b)(a² + ab + b²)

Ko'phadlar bilan ishlash

• Ko'paytuvchilarga ajratish tartibi: avval umumiy ko'paytuvchini qavsdan chiqaring, keyin formulani qo'llang, kerak bo'lsa guruhlang.
• Bezu: (x − a) ga bo'lganda qoldiq P(a).
• Agar P(a) = 0 bo'lsa, (x − a) ko'phadning ko'paytuvchisi, a esa uning ildizi.

1. Umumiy ko'paytuvchini qavsdan chiqar
2. Qisqa ko'paytirish formulasini qidir
3. Ko'phad uzun bo'lsa, ikkitadan guruhla
4. Ko'paytirib, boshlang'ich ko'phad chiqishini tekshir

Misollar

• 101² − 99² = (101 − 99)(101 + 99) = 2 · 200 = 400. Shuningdek 99² = (100 − 1)² = 10000 − 200 + 1 = 9801.
• x³ − 3x² − 4x + 12 = x²(x − 3) − 4(x − 3) = (x − 3)(x² − 4) = (x − 3)(x − 2)(x + 2). Tekshiruv: (x − 3)(x² − 4) ni ochsak x³ − 3x² − 4x + 12 chiqadi.
• P(x) = x³ − 2x² + x − 5 ni (x − 2) ga bo'lganda qoldiq P(2) = 8 − 8 + 2 − 5 = −3, bo'linma x² + 1. Tekshiruv: (x − 2)(x² + 1) − 3 = x³ − 2x² + x − 5.

Ehtiyot bo'ling

• Minus ishorali qavsni ochganda barcha hadlar ishorasi almashadi: −(x − 3)² = −x² + 6x − 9.
• (x + 2) ga bo'lganda qoldiq P(−2), P(2) emas.
• Kublar yig'indisida ikkinchi qavsning o'rta hadi manfiy: a² − ab + b², a² + ab + b² emas.