Показательные уравнения и неравенства

Свойства степени

В показательном уравнении неизвестное находится в показателе степени: aˣ = b (a > 0, a ≠ 1).

Свойство	Формула
Произведение	aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
Частное	aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
Степень степени	(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
Отрицательная степень	a⁻ⁿ = 1 / aⁿ
Дробная степень	a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)

aˣ всегда положительна: aˣ > 0 при всех x, поэтому уравнение aˣ = −3 не имеет решений.

Простейшие уравнения и неравенства

• Если aᶠ = aᵍ, то f = g (a > 0, a ≠ 1).
• При a > 1 неравенство aᶠ > aᵍ равносильно f > g: знак сохраняется.
• При 0 < a < 1 неравенство aᶠ > aᵍ равносильно f < g: знак меняется на противоположный.

Методы решения

1. Приведи обе части к одному основанию
2. Если основания равны, приравняй показатели
3. Если уравнение сложное, вынеси общий множитель за скобки или сделай замену t = aˣ
4. Не забудь условие t > 0
5. Сделай обратную замену и найди x

• Общий множитель: 3ˣ⁺¹ + 3ˣ = 3ˣ · (3 + 1) = 4 · 3ˣ.
• Квадратная замена: 4ˣ = (2ˣ)², 9ˣ = (3ˣ)².
• При замене t = aˣ выполняется t > 0. Корень с отрицательным t отбрасывается.
• Случай разных оснований (вида 2ˣ = 3ˣ): делим обе части на 3ˣ, получаем (2/3)ˣ = 1, x = 0.

Примеры

• Так как 2ˣ⁻¹ = 16 = 2⁴, то x − 1 = 4, x = 5.
• 4ˣ − 5 · 2ˣ + 4 = 0. Пусть t = 2ˣ: t² − 5t + 4 = 0, t = 1 или t = 4. Значит, x = 0 или x = 2.
• (1/3)ˣ > 9. Это (1/3)ˣ > (1/3)⁻², основание меньше 1, поэтому x < −2.