Ko'rsatkichli tenglama va tengsizliklar

Daraja xossalari

Ko'rsatkichli tenglamada noma'lum daraja ko'rsatkichida bo'ladi: aˣ = b (a > 0, a ≠ 1).

Xossa	Formula
Ko'paytma	aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
Bo'linma	aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
Daraja darajasi	(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
Manfiy daraja	a⁻ⁿ = 1 / aⁿ
Kasr daraja	a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)

aˣ har doim musbat: aˣ > 0 barcha x uchun, shuning uchun aˣ = −3 ning yechimi yo'q.

Eng sodda tenglama va tengsizliklar

• aᶠ = aᵍ bo'lsa f = g (a > 0, a ≠ 1).
• a > 1 bo'lsa, aᶠ > aᵍ tengsizligi f > g ga teng: belgi saqlanadi.
• 0 < a < 1 bo'lsa, aᶠ > aᵍ tengsizligi f < g ga teng: belgi teskarisiga o'zgaradi.

Yechish usullari

1. Ikkala tomonni bir xil asosga keltir
2. Asoslar teng bo'lsa, ko'rsatkichlarni tenglashtir
3. Murakkab bo'lsa, umumiy ko'paytuvchini qavsdan chiqar yoki t = aˣ almashtirish qil
4. t > 0 shartini unutma
5. Teskari almashtirib x ni top

• Umumiy ko'paytuvchi: 3ˣ⁺¹ + 3ˣ = 3ˣ · (3 + 1) = 4 · 3ˣ.
• Kvadrat almashtirish: 4ˣ = (2ˣ)², 9ˣ = (3ˣ)².
• t = aˣ almashtirishda t > 0. Manfiy t ildizi tashlanadi.
• Har xil asosli hol (2ˣ = 3ˣ ko'rinishida): ikkala tomonni 3ˣ ga bo'lib, (2/3)ˣ = 1, x = 0.

Misollar

• 2ˣ⁻¹ = 16 = 2⁴ bo'lgani uchun x − 1 = 4, x = 5.
• 4ˣ − 5 · 2ˣ + 4 = 0. t = 2ˣ: t² − 5t + 4 = 0, t = 1 yoki t = 4. Demak x = 0 yoki x = 2.
• (1/3)ˣ > 9. Bu (1/3)ˣ > (1/3)⁻², asos 1 dan kichik, shuning uchun x < −2.