Квадратное уравнение, теорема Виета

Квадратное уравнение

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0). Дискриминант: D = b² − 4ac.

D	Корни	Формула
D > 0	два различных	x = (−b ± √D) / 2a
D = 0	один (двукратный)	x = −b / 2a
D < 0	действительных корней нет

• Если b чётное, берётся k = b/2: D₁ = k² − ac, x = (−k ± √D₁) / a.
• Неполные уравнения: в ax² + c = 0 имеем x² = −c/a; в ax² + bx = 0 имеем x(ax + b) = 0, корни 0 и −b/a.

Теорема Виета

Если корни равны x₁ и x₂, то:

• x₁ + x₂ = −b/a
• x₁ · x₂ = c/a

В приведённом уравнении x² + px + q = 0 сумма корней равна −p, произведение равно q. Сумма равна −b/a, то есть с противоположным знаком.

Обратная теорема: числа с суммой s и произведением t являются корнями уравнения x² − sx + t = 0. Разложение на множители: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).

Вычисления без нахождения корней

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂. Аналогично 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂) / (x₁x₂).

1. Приведи уравнение к виду ax² + bx + c = 0
2. Вычисли D и определи количество корней
3. Запиши по Виету сумму и произведение
4. Вырази искомое выражение через эти две величины

Задачи с параметром

• Уравнение имеет один корень: D = 0.
• Два различных действительных корня: D > 0.
• Хотя бы один действительный корень: D ≥ 0.

Примеры

• x² − 5x + 6 = 0: сумма 5, произведение 6, корни 2 и 3.
• Если у уравнения x² − 3x + k = 0 один корень: D = 9 − 4k = 0, k = 9/4.