Kvadrat tenglama, Viyet teoremasi

Kvadrat tenglama

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0). Diskriminant: D = b² − 4ac.

D	Ildizlar	Formula
D > 0	ikkita turli	x = (−b ± √D) / 2a
D = 0	bitta (ikkilangan)	x = −b / 2a
D < 0	haqiqiy ildiz yo'q

• b juft bo'lsa, k = b/2 olinadi: D₁ = k² − ac, x = (−k ± √D₁) / a.
• To'liqsiz tenglamalar: ax² + c = 0 da x² = −c/a; ax² + bx = 0 da x(ax + b) = 0, ildizlar 0 va −b/a.

Viyet teoremasi

Ildizlari x₁ va x₂ bo'lsa:

• x₁ + x₂ = −b/a
• x₁ · x₂ = c/a

Keltirilgan x² + px + q = 0 da yig'indi −p, ko'paytma q. Yig'indi −b/a, ya'ni ishorasi teskari.

Teskari teorema: yig'indisi s, ko'paytmasi t bo'lgan sonlar x² − sx + t = 0 ning ildizlari. Ko'paytuvchilarga ajratish: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).

Ildizlarni bilmasdan hisoblash

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂. Shunga o'xshash 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂) / (x₁x₂).

1. Tenglamani ax² + bx + c = 0 ko'rinishiga keltir
2. D ni hisobla va ildizlar sonini aniqla
3. Viyetdan yig'indi va ko'paytmani yoz
4. So'ralgan ifodani shu ikkitasi orqali ifodala

Parametrli masalalar

• Tenglama bitta ildizga ega: D = 0.
• Ikki turli haqiqiy ildiz: D > 0.
• Kamida bitta haqiqiy ildiz: D ≥ 0.

Misollar

• x² − 5x + 6 = 0: yig'indi 5, ko'paytma 6, ildizlar 2 va 3.
• x² − 3x + k = 0 ning bitta ildizi bo'lsa: D = 9 − 4k = 0, k = 9/4.