Квадратные и дробно-рациональные неравенства

Квадратное неравенство

ax² + bx + c > 0 (или <, ≥, ≤). Решение: сначала находят корни, затем учитывают направление ветвей параболы (знак a).

Случай (a > 0, D > 0)	Решение
ax² + bx + c > 0	вне корней: x < x₁ или x > x₂
ax² + bx + c < 0	между корнями: x₁ < x < x₂

• D < 0 и a > 0: выражение всегда положительно. Поэтому решением неравенства > 0 является вся числовая прямая, а неравенство < 0 решений не имеет.
• D = 0: выражение равно a(x − x₁)², при переходе через точку x₁ знак не меняется.
• Если a < 0, умножьте обе части на −1 и измените знак неравенства на противоположный.

Метод интервалов

1. Приравняй выражение к нулю и отметь все корни на числовой прямой
2. Определи знак на самом правом промежутке
3. При переходе через корень знак меняется
4. Запиши промежутки с нужным знаком

• В строгом неравенстве (<, >) корни в решение не входят, записываются с круглыми скобками.
• В нестрогом неравенстве (≤, ≥) корни входят в решение, записываются с квадратными скобками.
• При переходе через корень чётной кратности знак не меняется.

Дробно-рациональное неравенство

Имеет вид f(x)/g(x) ≥ 0. Корни числителя и знаменателя используются в методе интервалов.

• Нули знаменателя всегда исключаются.
• Знак дроби совпадает со знаком произведения, но добавляется условие g(x) ≠ 0.
• Не умножайте на знаменатель, так как его знак неизвестен.
• Сначала неравенство нужно привести к виду f(x)/g(x) > 0 (или <, ≥, ≤), где правая часть равна 0: приведением к общему знаменателю получают единую дробь.

Примеры

• x² − x − 6 < 0: корни −2 и 3, решение −2 < x < 3, то есть (−2; 3).
• (x − 1)/(x + 2) ≥ 0: решение x < −2 или x ≥ 1, то есть (−∞; −2) ∪ [1; +∞).