Matematika
Kvadrat va kasr-ratsional tengsizliklar
Kvadrat tengsizlik
ax² + bx + c > 0 (yoki <, ≥, ≤). Yechish: avval ildizlar topiladi, so'ng parabola shoxlari yo'nalishi (a ishorasi) hisobga olinadi.
| Holat (a > 0, D > 0) | Yechim |
|---|---|
| ax² + bx + c > 0 | tashqarida: x < x₁ yoki x > x₂ |
| ax² + bx + c < 0 | ildizlar orasida: x₁ < x < x₂ |
- D < 0 va a > 0: ifoda har doim musbat. Shuning uchun > 0 ning yechimi butun sonlar o'qi, < 0 ning yechimi yo'q.
- D = 0: ifoda a(x − x₁)² ga teng, x₁ nuqtadan o'tganda ishora o'zgarmaydi.
- a < 0 bo'lsa, ikkala tomonni −1 ga ko'paytiring va belgini teskarisiga o'zgartiring.
Oraliqlar usuli
- Ifodani nolga tenglab, barcha ildizlarni son o'qiga qo'y
- Eng o'ngdagi oraliqda ishorani aniqla
- Ildizdan o'tganda ishora almashadi
- Kerakli ishorali oraliqlarni yoz
- Qat'iy tengsizlikda (<, >) ildizlar yechimga kirmaydi, yumaloq qavs bilan yoziladi.
- Noqat'iy tengsizlikda (≤, ≥) ildizlar kiradi, kvadrat qavs bilan yoziladi.
- Juft karrali ildizdan o'tganda ishora o'zgarmaydi.
Kasr-ratsional tengsizlik
f(x)/g(x) ≥ 0 ko'rinishida. Surat va maxraj ildizlari oraliqlar usulida ishlatiladi.
- Maxraj nollari doim chiqariladi.
- Kasr belgisi ko'paytma belgisi bilan bir xil, lekin g(x) ≠ 0 sharti qo'shiladi.
- Maxrajga ko'paytirib yubormang, maxraj ishorasi noma'lum.
- Tengsizlikni avval o'ng tomoni 0 bo'lgan f(x)/g(x) > 0 (yoki <, ≥, ≤) ko'rinishiga keltirish kerak: umumiy maxrajga keltirib, yagona kasr hosil qilinadi.
Misollar
- x² − x − 6 < 0: ildizlar −2 va 3, yechim −2 < x < 3, ya'ni (−2; 3).
- (x − 1)/(x + 2) ≥ 0: yechim x < −2 yoki x ≥ 1, ya'ni (−∞; −2) ∪ [1; +∞).
Mavzu boʻyicha test
x² − 5x + 6 > 0 tengsizlikning yechimi:
- A(2; 3)
- B[2; 3]
- C(−∞; 2) ∪ (3; +∞)
- D(−∞; 2] ∪ [3; +∞)
Javobni koʻrsat
Toʻgʻri javob: C) (−∞; 2) ∪ (3; +∞)
Esla: tashqarida: x < x₁ yoki x > x₂
x² − 4 ≤ 0 tengsizlikning yechimi:
- A[−2; 2]
- B(−2; 2)
- C(−∞; −2] ∪ [2; +∞)
- D[0; 2]
Javobni koʻrsat
Toʻgʻri javob: A) [−2; 2]
Esla: ildizlar orasida: x₁ < x < x₂
(x + 2)/(x − 4) ≤ 0 tengsizlikning yechimi:
- A[−2; 4]
- B(−2; 4)
- C(−∞; −2] ∪ (4; +∞)
- D[−2; 4)
Javobni koʻrsat
Toʻgʻri javob: D) [−2; 4)
Esla: Maxraj nollari doim chiqariladi
x² − 6x + 5 < 0 tengsizlikning natural yechimlari soni:
- A2
- B3
- C4
- D5
Javobni koʻrsat
Toʻgʻri javob: B) 3
Esla: ildizlar orasida: x₁ < x < x₂
x² + 2x + 5 > 0 tengsizlikning yechimi:
- AYechimi yo'q
- Bx > −1
- Cx ≠ −1
- D(−∞; +∞)
Javobni koʻrsat
Toʻgʻri javob: D) (−∞; +∞)
Esla: tashqarida: x < x₁ yoki x > x₂