Логарифм и его свойства

Определение

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b: logₐb = c ⇔ aᶜ = b.

• Условие существования: a > 0, a ≠ 1, b > 0.
• Специальные обозначения: lg b = log₁₀b (десятичный), ln b = logₑb (натуральный).
• log₂8 = 3, так как 2³ = 8. logₐ1 = 0, logₐa = 1.

Основные свойства

Свойство	Формула
Произведение	logₐ(bc) = logₐb + logₐc
Частное	logₐ(b/c) = logₐb − logₐc
Степень	logₐ(bⁿ) = n · logₐb
Степень в основании	логарифм b по основанию aᵏ = (1/k) · logₐb
Основное логарифмическое тождество	a^(logₐb) = b

Замена основания

• logₐb = lg b / lg a (переход к основанию 10).
• logₐb и логарифм a по основанию b (b ≠ 1) взаимно обратны: их произведение равно 1.
• logₐb · (логарифм c по основанию b) = logₐc.

1. Проверь условие существования (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
2. Приведи выражение к одному основанию
3. Примени свойства произведения, частного, степени
4. Вычисли результат

Примеры

• log₂32 + log₃9 = 5 + 2 = 7.
• log₆4 + log₆9 = log₆36 = 2.
• log₂3 · log₃8 = log₂8 = 3.
• Если lg 2 = a, то lg 5 = lg(10/2) = 1 − a.
• 5^(log₅7 + 1) = 5^(log₅7) · 5 = 7 · 5 = 35.

Ошибки

• logₐ(b + c) ≠ logₐb + logₐc: формулы для логарифма суммы не существует.
• logₐb · logₐc ≠ logₐ(bc): не путайте произведение с суммой.
• Логарифма отрицательного числа и нуля не существует.