Математика
Логарифмические уравнения и неравенства
Область определения
Выражение под знаком логарифма должно быть положительным, основание — положительным и не равным 1. Сначала запишите область определения, затем проверьте корни по этому условию.
- Для logₐ f(x) требуется f(x) > 0.
- Если в основании стоит x: x > 0, x ≠ 1.
- При основании < 1 знак неравенства меняется, а область определения всё равно нужна.
Простейшие уравнения
- logₐ f = c ⇒ f = aᶜ
- logₐ f = logₐ g ⇒ f = g, f > 0, g > 0
- logₐ f + logₐ g = logₐ(fg), но f и g должны быть положительными одновременно.
Неравенства
| Основание | Решение logₐ f > logₐ g |
|---|---|
| a > 1 | f > g > 0 (знак сохраняется) |
| 0 < a < 1 | 0 < f < g (знак меняется на противоположный) |
В обоих случаях добавляется условие положительности выражений.
- Запиши область определения
- Приведи логарифмы к одному основанию и собери в одну часть
- Реши в виде f = g (или неравенства)
- Пересеки ответ с областью определения
Метод замены
Если lg x или logₐx входит в квадратном виде, делается замена t = logₐx. Не забудьте по t найти x = aᵗ.
Примеры
- Если log₂(x + 3) = 3, то x + 3 = 8, x = 5.
- log₃(x − 1) + log₃(x + 1) = 1: log₃(x² − 1) = 1, x² = 4. Область: x > 1, значит x = 2 (−2 в область не входит).
- log₂(2x − 1) < 3: 0 < 2x − 1 < 8, то есть 0,5 < x < 4,5.
- Логарифм x по основанию 1/2 больше 3: основание меньше 1, знак меняется, 0 < x < (1/2)³, то есть 0 < x < 1/8.
- (lg x)² − 3lg x + 2 = 0: t = lg x, t = 1 или t = 2, значит x = 10 или x = 100.