Уравнения и неравенства с модулем

Определение и свойства модуля

Модуль числа |x| — это расстояние от точки x до 0 на числовой оси. |x| = x (если x ≥ 0), |x| = −x (если x < 0).

• Модуль никогда не бывает отрицательным: |x| ≥ 0.
• |−x| = |x|, |ab| = |a| · |b|, |x|² = x², √(x²) = |x|.
• Выражение |x − a| обозначает расстояние между x и a.

Основные виды

Следующие правила лежат в основе всех задач с модулем (a > 0).

• Если |f(x)| = a, то f = a или f = −a.
• Если |f(x)| < a, то −a < f < a.
• Если |f(x)| > a, то f < −a или f > a.
• Если |f(x)| = |g(x)|, то f = g или f = −g.
• Если |f(x)| = g(x), сначала ставится условие g ≥ 0, затем решается f = g или f = −g. Проверьте корень на условие g ≥ 0.
• Если a < 0, то уравнение |f| = a не имеет решений, а решением неравенства |f| > a является вся числовая ось.

Несколько модулей

1. Найди нуль каждого выражения под модулем
2. Нули разбивают числовую ось на промежутки
3. На каждом промежутке раскрой модуль с учётом знака
4. Реши полученное уравнение
5. Проверь, принадлежит ли корень этому промежутку

Корень обязан лежать в промежутке. Иначе это посторонний корень.

Примеры

• |2x − 3| = 5: 2x − 3 = 5 или 2x − 3 = −5. Значит, x = 4 или x = −1.
• |x − 2| < 3: −3 < x − 2 < 3, то есть −1 < x < 5. Целые решения: 0, 1, 2, 3, 4.
• |x − 1| = 2x − 4: условие 2x − 4 ≥ 0, x ≥ 2. Из x − 1 = 2x − 4 получаем x = 3 (подходит). Из x − 1 = −2x + 4 получаем x = 5/3, это меньше 2, посторонний корень. Ответ: x = 3.