Modulli tenglama va tengsizliklar

Modul ta'rifi va xossalari

Sonning moduli |x| son o'qida x nuqtadan 0 gacha bo'lgan masofa. |x| = x (x ≥ 0 bo'lsa), |x| = −x (x < 0 bo'lsa).

• Modul hech qachon manfiy bo'lmaydi: |x| ≥ 0.
• |−x| = |x|, |ab| = |a| · |b|, |x|² = x², √(x²) = |x|.
• |x − a| ifodasi x bilan a orasidagi masofani bildiradi.

Asosiy ko'rinishlar

Quyidagi qoidalar hamma modulli masalalarning asosi (a > 0).

• |f(x)| = a bo'lsa, f = a yoki f = −a.
• |f(x)| < a bo'lsa, −a < f < a.
• |f(x)| > a bo'lsa, f < −a yoki f > a.
• |f(x)| = |g(x)| bo'lsa, f = g yoki f = −g.
• |f(x)| = g(x) bo'lsa, avval g ≥ 0 sharti qo'yiladi, so'ng f = g yoki f = −g yechiladi. Ildizni g ≥ 0 ga tekshiring.
• a < 0 bo'lsa, |f| = a ning yechimi yo'q, |f| > a ning yechimi butun son o'qi.

Bir nechta modul

1. Modul ichidagi har bir ifodaning nolini top
2. Nollar son o'qini oraliqlarga bo'ladi
3. Har oraliqda modulni ishorasiga qarab och
4. Hosil bo'lgan tenglamani yech
5. Ildiz o'sha oraliqqa tegishliligini tekshir

Ildiz oraliqda yotishi shart. Aks holda u begona ildiz.

Misollar

• |2x − 3| = 5: 2x − 3 = 5 yoki 2x − 3 = −5. Demak x = 4 yoki x = −1.
• |x − 2| < 3: −3 < x − 2 < 3, ya'ni −1 < x < 5. Butun yechimlar 0, 1, 2, 3, 4.
• |x − 1| = 2x − 4: shart 2x − 4 ≥ 0, x ≥ 2. x − 1 = 2x − 4 dan x = 3 (yaraydi). x − 1 = −2x + 4 dan x = 5/3, bu 2 dan kichik, begona ildiz. Javob x = 3.