Стереометрия: тела вращения

Цилиндр

Получается при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. R — радиус, H — высота.

• Объём: V = πR²H.
• Боковая поверхность: боковая поверхность = 2πRH, полная поверхность 2πR(R + H).
• Осевое сечение: прямоугольник 2R × H. Если это квадрат, то H = 2R.

Конус

Получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета. l — образующая.

Величина	Формула
Образующая	l² = R² + H²
Объём	V = (1/3) · πR²H
Боковая поверхность	боковая поверхность = πRl
Полная поверхность	S = πR(R + l)

• Осевое сечение — равнобедренный треугольник (основание 2R, боковая сторона l).
• Усечённый конус: V = (πH/3) · (R² + Rr + r²), боковая поверхность π(R + r)l.

Шар

• Объём: V = (4/3) · πR³.
• Поверхность: S = 4πR².
• Если плоскость пересекает шар, сечением является круг. Радиус сечения r, расстояние от центра до плоскости d: r² = R² − d².
• Касательная плоскость к поверхности шара перпендикулярна радиусу.

1. Определи тело и отметь R, H, l на чертеже
2. В конусе найди l или H по теореме Пифагора
3. Выбери формулу объёма или поверхности
4. Сохраняй π в ответе, умножай в конце

Примеры

• Цилиндр R = 3, H = 5: V = 9π · 5 = 45π.
• Конус R = 3, H = 4: l = 5, боковая поверхность π · 3 · 5 = 15π.
• Шар R = 3: V = (4/3) · π · 27 = 36π.
• Конус R = 6, l = 10: H = 8, V = (1/3) · π · 36 · 8 = 96π.

Ошибки

• В объёме конуса должна быть H, а не l. Образующая используется только для боковой поверхности.
• Не забывайте про 1/3 в объёме конуса и пирамиды и про 4/3 в объёме шара.