Стереометрия: призма и пирамида

Призма

Основания призмы — равные многоугольники, боковые грани — параллелограммы. В прямой призме боковые рёбра перпендикулярны основанию.

• Объём: V = S · H (S — площадь основания).
• Боковая поверхность прямой призмы: боковая поверхность = периметр основания · H. Полная поверхность = боковая поверхность + 2 · площадь основания.
• Прямоугольный параллелепипед (a, b, c): V = abc, диагональ d = √(a² + b² + c²), полная поверхность 2(ab + bc + ac).
• Куб (ребро a): V = a³, S = 6a², диагональ d = a√3.
• Площадь правильного треугольника a²√3 / 4.

Пирамида

Основание пирамиды — многоугольник, боковые грани — треугольники с общей вершиной.

Величина	Формула
Объём	V = (1/3) · S · H
Боковая поверхность правильной пирамиды	(1/2) · P · l (P — периметр основания, l — апофема)
Полная поверхность	боковая поверхность + площадь основания
Объём усечённой пирамиды	V = (H/3) · (S₁ + S₂ + √(S₁S₂))

• В правильной пирамиде основание — правильный многоугольник, высота падает в центр основания.
• Апофема, высота и расстояние от центра основания до стороны (r) образуют прямоугольный треугольник: l² = H² + r².
• Не забывайте про 1/3 в объёме пирамиды: он равен одной трети объёма призмы с тем же основанием и той же высотой.
• В боковой поверхности нужна апофема, а не высота.

1. Определи тип тела: прямая призма, правильная пирамида
2. Найди площадь основания и высоту
3. Если нужна апофема, примени теорему Пифагора
4. Подставь в формулу объёма или поверхности

Примеры

• Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания 6, высота 4. Расстояние от центра основания до стороны 3, апофема l = √(9 + 16) = 5. Боковая поверхность (1/2) · 24 · 5 = 60, полная поверхность 36 + 60 = 96.
• Параллелепипед 3, 4, 12: d = √(9 + 16 + 144) = 13.
• Пирамида с основанием 36 и высотой 9: V = 36 · 9 / 3 = 108.