Математика
Четырёхугольники и многоугольники
Четырёхугольники
| Фигура | Свойства и площадь |
|---|---|
| Параллелограмм | S = a · h = a · b · sin α, диагонали в точке пересечения делятся пополам |
| Прямоугольник | S = a · b, диагонали равны |
| Ромб | стороны равны, диагонали перпендикулярны, S = d₁ · d₂ / 2 |
| Квадрат | S = a², диагональ d = a√2 |
| Трапеция | S = (a + b) / 2 · h, средняя линия (a + b) / 2 |
- Сторона ромба: a² = (d₁/2)² + (d₂/2)².
- В трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований: (a − b) / 2, a > b.
- В четырёхугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна 180°. В описанном четырёхугольнике a + c = b + d.
Пример: равнобедренная трапеция, основания 13 и 7, боковая сторона 5.
| Величина | Значение |
|---|---|
| Основания | 13 и 7 |
| Боковая сторона | 5 |
| Полуразность оснований | 3 |
| Высота h | 4 |
Многоугольники
- Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна (n − 2) · 180°.
- Один угол правильного n-угольника равен (n − 2) · 180° / n, внешний угол равен 360° / n.
- Число диагоналей равно n(n − 3) / 2.
- Определи фигуру и запиши данные
- Найди высоту или полудиагональ из прямоугольного треугольника
- Подставь подходящую формулу площади
- Проверь результат вторым способом
Примеры
- Диагонали ромба равны 6 и 8: их половины 3 и 4, сторона √(3² + 4²) = 5, площадь 6 · 8 / 2 = 24, периметр 20, высота 24 / 5 = 4,8.
- Равнобедренная трапеция, основания 7 и 13, боковая сторона 5: (13 − 7) / 2 = 3, h = √(25 − 9) = 4, S = 10 · 4 = 40. Средняя линия 10, отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 3.
- Угол правильного многоугольника равен 140°: 180n − 360 = 140n, n = 9, диагоналей 9 · 6 / 2 = 27.
Будьте внимательны
- Площадь ромба равна не a², а d₁ · d₂ / 2. a² подходит только для квадрата.
- В площади трапеции не забывайте полусумму.
- Боковая сторона не является высотой: высота перпендикулярна основанию.
- Число диагоналей не n(n − 1) / 2: из каждой вершины диагонали не проводятся к ней самой и двум соседним, поэтому n − 3.
- Не путайте внутренний и внешний угол: внешний угол правильного многоугольника равен 360° / n.