Тригонометрические уравнения и неравенства

Простейшие уравнения

n здесь любое целое число (n ∈ ℤ).

Уравнение	Решение
sin x = a, −1 ≤ a ≤ 1	x = (−1)ⁿ · arcsin a + πn
cos x = a, −1 ≤ a ≤ 1	x = ± arccos a + 2πn
tg x = a	x = arctg a + πn
ctg x = a	x = arcctg a + πn

• если a > 1 или a < −1, решений нет (для sin x = a и cos x = a).
• у tg и ctg период +πn, у sin и cos период +2πn.
• Частные случаи: sin x = 0 при x = πn; sin x = 1 при x = π/2 + 2πn; sin x = −1 при x = −π/2 + 2πn.
• cos x = 0 при x = π/2 + πn; cos x = 1 при x = 2πn; cos x = −1 при x = π + 2πn.

Способы решения

1. Приведи все функции к одной функции
2. Если уравнение квадратное, сделай замену t = sin x (или cos x), проверь |t| ≤ 1
3. Разложи на множители: каждый множитель равен нулю
4. Реши по формулам простейших уравнений

• С помощью тождества sin²x + cos²x = 1 sin и cos сводятся к одной функции.
• Однородное: a sin x + b cos x = 0 делится на cos x, получается a tg x + b = 0.
• Если аргумент умножен (sin 2x = 0), сначала находят 2x, затем делят на два: x = πn/2.

Неравенства

Используют единичную окружность или график, ответ всегда записывают с добавлением периода.

• sin x > 0 при x ∈ (2πn; π + 2πn).
• cos x < −1/2: (2π/3; 4π/3) + 2πn.
• cos x > 1/2 при x ∈ (−π/3 + 2πn; π/3 + 2πn).
• Период: 2π для sin, cos и π для tg.

Примеры

• 2sin²x − sin x − 1 = 0: t = sin x, 2t² − t − 1 = 0, t = 1 или t = −1/2. На промежутке [0; 2π] из sin x = 1 получаем π/2, из sin x = −1/2 получаем 7π/6 и 11π/6. Всего 3 корня.
• tg x = √3: x = π/3 + πn.