Matematika
Trigonometrik tenglama va tengsizliklar
Eng sodda tenglamalar
n bu yerda istalgan butun son (n ∈ ℤ).
| Tenglama | Yechim |
|---|---|
| sin x = a, −1 ≤ a ≤ 1 | x = (−1)ⁿ · arcsin a + πn |
| cos x = a, −1 ≤ a ≤ 1 | x = ± arccos a + 2πn |
| tg x = a | x = arctg a + πn |
| ctg x = a | x = arcctg a + πn |
- a > 1 yoki a < −1 bo'lsa, yechim yo'q (sin x = a va cos x = a uchun).
- tg va ctg da +πn, sin va cos da +2πn.
- Xususiy hollar: sin x = 0 da x = πn; sin x = 1 da x = π/2 + 2πn; sin x = −1 da x = −π/2 + 2πn.
- cos x = 0 da x = π/2 + πn; cos x = 1 da x = 2πn; cos x = −1 da x = π + 2πn.
Yechish usullari
- Hamma funksiyalarni bitta funksiyaga keltir
- Kvadrat bo'lsa t = sin x (yoki cos x) almashtir, |t| ≤ 1 ni tekshir
- Ko'paytuvchilarga ajrat: har ko'paytuvchi nolga teng
- Eng sodda tenglamalar formulasi bilan yech
- sin²x + cos²x = 1 ayniyati yordamida sin va cos birlashtiriladi.
- Bir jinsli: a sin x + b cos x = 0 ni cos x ga bo'lib, a tg x + b = 0 hosil qilinadi.
- Argument ko'paytirilgan bo'lsa (sin 2x = 0), avval 2x ni topib, so'ng ikkiga bo'linadi: x = πn/2.
Tengsizliklar
Birlik aylana yoki grafikdan foydalaniladi, javob har doim davr qo'shib yoziladi.
- sin x > 0 da x ∈ (2πn; π + 2πn).
- cos x < −1/2: (2π/3; 4π/3) + 2πn.
- cos x > 1/2 da x ∈ (−π/3 + 2πn; π/3 + 2πn).
- Davr: sin, cos uchun 2π, tg uchun π.
Misollar
- 2sin²x − sin x − 1 = 0: t = sin x, 2t² − t − 1 = 0, t = 1 yoki t = −1/2. [0; 2π] oraliqda sin x = 1 dan π/2, sin x = −1/2 dan 7π/6 va 11π/6. Jami 3 ta ildiz.
- tg x = √3: x = π/3 + πn.
Mavzu boʻyicha test
cos x = 1/2 tenglamaning yechimi (n ∈ ℤ):
- Aπ/6 + 2πn
- B(−1)ⁿ π/3 + πn
- C±π/6 + 2πn
- D±π/3 + 2πn
Javobni koʻrsat
Toʻgʻri javob: D) ±π/3 + 2πn
Esla: x = ± arccos a + 2πn
cos 2x = 1 tenglamaning yechimi (n ∈ ℤ):
- Aπn
- B2πn
- Cπn/2
- Dπ/2 + πn
Javobni koʻrsat
Toʻgʻri javob: A) πn
Esla: x = ± arccos a + 2πn
tg x = −1 tenglamaning yechimi (n ∈ ℤ):
- Aπ/4 + πn
- B−π/4 + πn
- C−π/4 + 2πn
- D±π/4 + πn
Javobni koʻrsat
Toʻgʻri javob: B) −π/4 + πn
Esla: tg va ctg da +πn, sin va cos da +2πn
2sin²x + sin x − 1 = 0 tenglamaning [0; 2π] oraliqdagi ildizlari soni:
- A2
- B4
- C3
- D1
Javobni koʻrsat
Toʻgʻri javob: C) 3
Esla: x = (−1)ⁿ · arcsin a + πn
sin x > 1/2 tengsizlikning yechimi (n ∈ ℤ):
- A(π/3 + 2πn; 2π/3 + 2πn)
- B(π/6 + πn; 5π/6 + πn)
- C(−7π/6 + 2πn; π/6 + 2πn)
- D(π/6 + 2πn; 5π/6 + 2πn)
Javobni koʻrsat
Toʻgʻri javob: D) (π/6 + 2πn; 5π/6 + 2πn)
Esla: Davr: sin, cos uchun 2π, tg uchun π