Треугольники

Основные свойства

• Сумма внутренних углов A + B + C = 180°.
• Внешний угол = сумма двух внутренних: он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
• Сторона < суммы двух других сторон, но больше их разности. Поэтому треугольника со сторонами 3, 4, 8 не существует.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• Средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине.
• В прямоугольном треугольнике справедлива теорема Пифагора: a² + b² = c², где c — гипотенуза.
• Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные боковым сторонам: если биссектриса, проведённая из вершины A, пересекает BC в точке D, то BD / DC = AB / AC.
• Если коэффициент подобия равен k, то стороны отличаются в k раз, а площади — в k² раз.

Теоремы и площадь

Название	Формула
Теорема косинусов	a² = b² + c² − 2bc · cos A
Теорема синусов	a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R
Площадь	S = ½ · a · h, S = ½ · a · b · sin C
Формула Герона	S = √(p(p − a)(p − b)(p − c))
Окружности	r = S / p, R = abc / (4S)

p = (a + b + c) / 2 — полупериметр. В прямоугольном треугольнике R = c / 2.

В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу: a² = c · a_c. Квадрат высоты: h² = a_c · b_c.

Пример: катеты AC = 6 и BC = 8 (прямой угол при C), гипотенуза AB = 10, высота, проведённая к гипотенузе, равна 4,8.

Величина	Значение
Катеты	6 и 8
Гипотенуза	10
Проекции	3,6 и 6,4
Высота h	4,8

Примеры

• Стороны 13, 14, 15: p = 21, p − a = 8, p − b = 7, p − c = 6, S = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84. Высота, проведённая к стороне 14: h = 2S / 14 = 168 / 14 = 12. r = 84 / 21 = 4, R = 2730 / 336 = 8,125.
• Внешний угол при вершине C равен 110°, A = 45°: B = 110° − 45° = 65°. Проверка: C = 70°, 45° + 65° + 70° = 180°.
• Катеты 6 и 8: c = √(6² + 8²) = 10, S = ½ · 6 · 8 = 24 = ½ · 10 · h, h = 4,8. Проверка: h² = 3,6 · 6,4 = 23,04. Медиана равна 5 (половина гипотенузы).

Будьте внимательны

• В формуле Герона p — полупериметр, а не весь периметр.
• Теорема Пифагора работает только в прямоугольном треугольнике.
• Внешний угол в сумме со смежным даёт 180°.
• Высота перпендикулярна стороне, это не боковая сторона.
• Перед тем как давать ответ, проверьте неравенство треугольника.