Uchburchaklar

Asosiy xossalar

• Ichki burchaklar yig'indisi A + B + C = 180°.
• Tashqi burchak = ikki ichki yig'indisi: o'zi bilan qo'shni bo'lmagan ikkita ichki burchak yig'indisiga teng.
• Tomon < qolgan ikki tomon yig'indisi, ayirmasidan katta. Shuning uchun 3, 4, 8 tomonli uchburchak yo'q.
• Teng yonli uchburchakda asosidagi burchaklar teng.
• O'rta chiziq uchinchi tomonga parallel va uning yarmiga teng.
• To'g'ri burchakli uchburchakda Pifagor teoremasi: a² + b² = c², c gipotenuza.
• Bissektrisa qarama-qarshi tomonni yon tomonlarga proporsional bo'laklarga bo'ladi: A uchidan tushgan bissektrisa BC ni D da kessa, BD / DC = AB / AC.
• O'xshashlik koeffitsiyenti k bo'lsa, tomonlar k marta, yuzalar k² marta farq qiladi.

Teoremalar va yuza

Nom	Formula
Kosinuslar teoremasi	a² = b² + c² − 2bc · cos A
Sinuslar teoremasi	a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R
Yuza	S = ½ · a · h, S = ½ · a · b · sin C
Geron formulasi	S = √(p(p − a)(p − b)(p − c))
Aylanalar	r = S / p, R = abc / (4S)

p = (a + b + c) / 2 yarim perimetr. To'g'ri burchakli uchburchakda R = c / 2.

To'g'ri burchakli uchburchakda katet kvadrati gipotenuza bilan uning shu katetdagi proyeksiyasi ko'paytmasiga teng: a² = c · a_c. Balandlik kvadrati: h² = a_c · b_c.

Namuna: katetlari AC = 6 va BC = 8 (to'g'ri burchak C da), gipotenuza AB = 10, gipotenuzaga tushirilgan balandlik 4,8.

Kattalik	Qiymat
Katetlar	6 va 8
Gipotenuza	10
Proyeksiyalar	3,6 va 6,4
Balandlik h	4,8

Misollar

• Tomonlari 13, 14, 15: p = 21, p − a = 8, p − b = 7, p − c = 6, S = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84. 14 tomonga tushirilgan balandlik h = 2S / 14 = 168 / 14 = 12. r = 84 / 21 = 4, R = 2730 / 336 = 8,125.
• C uchidagi tashqi burchak 110°, A = 45°: B = 110° − 45° = 65°. Tekshiruv: C = 70°, 45° + 65° + 70° = 180°.
• Katetlari 6 va 8: c = √(6² + 8²) = 10, S = ½ · 6 · 8 = 24 = ½ · 10 · h, h = 4,8. Tekshiruv: h² = 3,6 · 6,4 = 23,04. Mediana 5 (gipotenuzaning yarmi).

Ehtiyot bo'ling

• Gerondagi p yarim perimetr, butun emas.
• Pifagor faqat to'g'ri burchakli uchburchakda ishlaydi.
• Tashqi burchak qo'shnisi bilan 180° ga to'ladi.
• Balandlik tomonga perpendikulyar, yon tomon emas.
• Javob berishdan oldin uchburchak tengsizligini tekshiring.