Окружность и круг

Длина и площадь

R — радиус окружности. Длина окружности C = 2πR, площадь круга S = πR².

Часть	Формула
Длина дуги (α градусов)	l = πRα / 180
Площадь сектора	S = πR²α / 360
Площадь сегмента	площадь сектора минус площадь треугольника

Углы

• Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.
• Вписанный угол = половине дуги.
• Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны; вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
• Угол между касательной и хордой равен половине дуги.

Хорды, касательная, секущая

• Пересекающиеся хорды: AE · EB = CE · ED.
• Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания.
• Отрезки двух касательных, проведённых из одной точки, равны.
• Касательная и секущая: PT² = PA · PB (PT — отрезок касательной, PA — внешняя часть секущей, PB — вся секущая).
• Для пересекающихся хорд произведение берут от отрезков хорд, а не от всей хорды.
• Вписанный угол равен половине дуги, центральный угол равен самой дуге: не приравнивайте вписанный угол к дуге.

Связь с треугольником и четырёхугольником

• Радиус вписанной окружности: r = S / p (p — полупериметр).
• Описанной: R = abc / 4S. В прямоугольном треугольнике R = c/2, r = (a + b − c)/2 (c — гипотенуза).
• Во вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.
• В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: a + c = b + d.

1. Отметь на чертеже центральные и вписанные углы и дуги
2. Выбери подходящую теорему: хорды, касательная или перпендикулярность радиуса и касательной
3. Подставь в формулу и найди неизвестное
4. Проверь единицы измерения (градусы или радианы)

Примеры

• R = 6, центральный угол 60°. Площадь сектора 36π · 60 / 360 = 6π.
• Хорды пересеклись, AE = 4, EB = 6, CE = 3: ED = 24 / 3 = 8.
• В прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 8 гипотенуза равна 10, r = (6 + 8 − 10)/2 = 2.