Векторы

Основные понятия

Вектор — направленный отрезок. Координаты записываются в виде a = (x; y).

• Длина вектора |a|: длина: √(x² + y²). В пространстве |a| = √(x² + y² + z²).
• Вектор из A(x₁; y₁) в B(x₂; y₂): AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁). То есть координаты конца минус координаты начала.
• Середина отрезка: M((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2).

Действия

Действие	В координатах
Сумма	(x₁ + x₂; y₁ + y₂)
Разность	(x₁ − x₂; y₁ − y₂)
Умножение на число	k · a = (kx; ky)

Скалярное произведение

• a · b = x₁x₂ + y₁y₂
• a · b = |a| · |b| · cos φ, откуда cos φ = (a · b) / (|a| · |b|).
• если a · b = 0, векторы перпендикулярны (для ненулевых векторов).
• Коллинеарные (параллельные) векторы: x₁ / x₂ = y₁ / y₂, то есть x₁y₂ = x₂y₁.
• a · a = |a|².

1. Найди координаты вектора (конец минус начало)
2. Выбери нужную величину: длина, скалярное произведение, угол
3. Подставь значения в формулу
4. По знаку cos φ проверь, острый угол или тупой

Примеры

• Если a = (−6; 8), то |a| = √(36 + 64) = 10.
• a = (2; −1), b = (3; 4): a · b = 6 − 4 = 2.
• a = (2; k), b = (3; −6) перпендикулярны: 6 − 6k = 0, k = 1. Если они коллинеарны, то 2 / 3 = k / (−6), k = −4.
• a = (1; √3), b = (−2; 0): a · b = −2, |a| = 2, |b| = 2, cos φ = −1/2, φ = 120°.

Ошибки

• если cos φ отрицателен, угол тупой, не заменяйте его на 60°.
• Условие перпендикулярности — произведение равно нулю; условие коллинеарности — пропорциональность.