Vektorlar

Asosiy tushunchalar

Vektor yo'nalishli kesma. Koordinatalari a = (x; y) ko'rinishda yoziladi.

• Vektor uzunligi |a|: uzunlik: √(x² + y²). Fazoda |a| = √(x² + y² + z²).
• A(x₁; y₁) dan B(x₂; y₂) ga vektor: AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁). Ya'ni oxirgi nuqta minus boshlang'ich nuqta.
• Kesma o'rtasi: M((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2).

Amallar

Amal	Koordinatalarda
Yig'indi	(x₁ + x₂; y₁ + y₂)
Ayirma	(x₁ − x₂; y₁ − y₂)
Songa ko'paytirish	k · a = (kx; ky)

Skalyar ko'paytma

• a · b = x₁x₂ + y₁y₂
• a · b = |a| · |b| · cos φ, bundan cos φ = (a · b) / (|a| · |b|).
• a · b = 0 bo'lsa, perpendikulyar (nol bo'lmagan vektorlar uchun).
• Kollinear (parallel) vektorlar: x₁ / x₂ = y₁ / y₂, ya'ni x₁y₂ = x₂y₁.
• a · a = |a|².

1. Vektor koordinatalarini (oxiri minus boshi) top
2. Kerakli kattalikni tanla: uzunlik, skalyar ko'paytma, burchak
3. Qiymatlarni formulaga qo'y
4. cos φ ning ishorasidan burchak o'tkir yoki o'tmasligini tekshir

Misollar

• a = (−6; 8) bo'lsa, |a| = √(36 + 64) = 10.
• a = (2; −1), b = (3; 4): a · b = 6 − 4 = 2.
• a = (2; k), b = (3; −6) perpendikulyar: 6 − 6k = 0, k = 1. Kollinear bo'lsa, 2 / 3 = k / (−6), k = −4.
• a = (1; √3), b = (−2; 0): a · b = −2, |a| = 2, |b| = 2, cos φ = −1/2, φ = 120°.

Xatolar

• cos φ manfiy bo'lsa, burchak o'tmas, uni 60° bilan almashtirmang.
• Perpendikulyarlik sharti ko'paytma nolga teng; kollinearlik sharti proporsionallik.